Una breve premessa è d'obbligo. Come molti di voi sapranno, non ho né una laurea in matematica, né in statistica; viceversa, sono laureato in economia ed in giurisprudenza, ragion per cui vi chiedo di essere clementi nel caso in cui riscontraste qualche imprecisione nell' "analisi" statistica di cui sotto, frutto del mio essere autodidatta grazie all'uso di strumenti accessibili a tutti, tranne che ai politici italiani: working papers, libri, relazione accademiche ecc.
Inoltre, credo sia opportuno precisare che, quanto di seguito riportato riguardi non condotte illecite bensì aspetti del trading ad alta frequenza legalmente condotto quotidianamente sui mercati.
Qui trovate qualcosa sul teorema ergodico.
Qui trovate qualcosa sull'ergodicità.
Quitrovate qualcosa sulla stazionerietà statistica.
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Il punto di partenza del ragionamento è il seguente: gli HFTs, costruiscono in forma algoritmicaindicatori tecnici formanti nel mercato tramite il loro utilizzo, un processo multidimensionale stazionario, presupposto dello sfruttamento di profittevoli arbitraggi statistici e/o dell'esecuzione di trades interessanti un numero cospicuo di assets. Tali indicatori performano meglio in un contesto ad alta frequenza piuttosto che in unoordinario, in ragione di alcune reazioni del mercato inquadrabili nel campo della finanza comportamentale e che tratteremo -tempo permettendo- in futuro.
Con riguardo ad un solo asset tradato ad HF, potremmo dire quanto segue.
Il prezzo P di un asset al tempo t, P(t), rappresenta un processo stocastico in t; quindi, per ogni t,P(t) costituisce una variabile casuale.
Poniamo P(t)= log di P(t) e ∆p(t)come suo incremento, vale a dire, ∆p(t)= P(t)-p(t-δ), ove δsia una costante dal valore positivo.
La costante δ è indicativa dell' intervallo temporale in cui sono osservati i dati di mercato ad alta frequenza; in genere, δè posto pari a 0,5 secondi (o valore inferiore) derivandone l'uguaglianza che vede 1 unità temporale δessere pari a 0,5 secondi (o valore inferiore).
L'incremento di cui sopra, [∆p(t)], in finanza, è espressione di un rendimento logaritmico, considerabile processo fortemente stazionario, ove riguardante titoli -in generale- altamente liquidie negoziati nell'ambito delle ore di trading connotate da un maggior afflusso di liquidità.
Gli indicatori tecnici con struttura algoritmica, vanno quindi ad incarnare una funzione multidimensionale del seguente tipo:
X(t)= f [∆p(s), t-q ≤ s ≤ t], dipendente esclusivamente dai rendimenti logaritmici del precedente intervallo di tempo [t-q, t] di lunghezza pari a q.
Essendo funzione di un processo stazionario, X(t)è anch'esso stazionario ed ove ipotizzato parte di un algoritmo impiegato per tradare costantemente un'unità di un asset, genera un rendimento logaritmico istantaneo esprimibile in [I(t-1)∆p(t)], con:
- I(t-1)= 1, qualora si disponga, al tempo (t-1), dell' asset tradato.
- I(t-1)= 0 qualora non si disponga,al tempo (t-1), dell'asset tradato.
I rendimenti logaritmici istantanei, formeranno quindi serie temporali stazionarie.
Posto C(T)quale rendimento logaritmico totale, generato a partire dal tempoT al netto dei costi di trading, impiegando ilteorema dell'ergodicità forte,è possibile dimostrare come il rendimento logaritmico medio C(T)/Tconverga in presenza di ampi valori assunti da T. Il limite sarà una costante positiva allorquando il rendimento logaritmico sia ergodico e con media positiva al netto dei costi di negoziazione.
Ne deriva inoltre che, anche in presenza di un operatività negoziale spalmata su poche ore di trading, minore sarà il valore assegnato all' unità temporale di riferimento per le osservazioni delle variazioni dei prezzi (che in precedenza abbiamo indicato anche come δ), quindi maggiore sarà la frequenza di osservazione, maggiore sarà il valore assunto da Te dunque la verificabilità di quanto sopra; in caso di esito positivo della verifica, certa sarà la profittabilità della strategia basata sulla funzione multidimensionale poco sopra illustrata. Ad esempio, posto δ= 0,5 secondi, in 3 ore di trading, Tassumerebbe un valore pari a 180 minuti x 60 secondi x 2= 21.600.
Quindi, l'obiettivo di un programmatore HFT è (anche) quello di creare algoritmi in grado di generare profittiaffondanti le radici in un processo stazionario ergodico con media positiva, tale per cui, il soddisfacimento del teorema dell'ergodicità fortepossa essere espressione della garanzia di un incremento stabile dellaprofittabilità complessiva.
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